데자르그 정리

1. 개요2. 설명3. 증명

1. 개요 [편집]

1648년 프랑스의 기하학자 Girard Desargues(지랄드 두 사르그)의 정리이다.

프랑스어에서 Desargues는 '데자르그'로 읽으며 '두 사르그' 내지 '드 사르그'는 영어식 피진이다. 대한수학회에서는 '데자르그 정리'로 번역되어있다.

2. 설명 [편집]

파일:데자르그 wjdfl.png

$\triangle{ABC}$ 와 $\triangle{A'B'C'}$ 에서 세 직선 $\overline{AA'}$ , $\overline{BB'}$ , $\overline{CC'}$ 가 한 점 $O$ 에서 만날 때, 직선 $\overline{BC}$ , $\overline{B'C'}$ 의 교점을 $L$ , 직선 $\overline{AC}$ , $\overline{A'C'}$ 의 교점을 $M$ , 직선 $\overline{AB}$ , $\overline{A'B'}$ 의 교점을 $N$ 이라고 하면, 점 $L$ , $M$ , $N$ 는 한 직선 위에 있다.

3. 증명 [편집]

메넬라오스 정리를 이용한다.

\triangle{OAB}

와

\overline{NB'A'}

에서 메넬라오스 정리를 적용하면

\frac{\overline{AN}}{\overline{NB}}

\frac{\overline{BB'}}{\overline{B'O}}

\frac{\overline{OA'}}{\overline{A'A}}

=1 ☞ ①

\triangle{OBC}

와

\overline{LC'B'}

에서 메넬라오스 정리를 적용하면

\frac{\overline{BL}}{\overline{LC}}

\frac{\overline{CC'}}{\overline{C'O}}

\frac{\overline{OB'}}{\overline{B'B}}

=1 ☞ ②

\triangle{OCA}

와

\overline{MA'C'}

에서 메넬라오스 정리를 적용하면

\frac{\overline{CM}}{\overline{MA}}

\frac{\overline{AA'}}{\overline{A'O}}

\frac{\overline{OC'}}{\overline{C'C}}

=1 ☞ ③

①, ②, ③을 모두 곱하여 소거시킬수 있는 것들을 소거시키면

\frac{\overline{AN}}{\overline{NB}}

\frac{\overline{BL}}{\overline{LC}}

\frac{\overline{CM}}{\overline{MA}}

=1

그러므로 메넬라오스 정리의 역에 의해 제 점

L

,

M

,

N

는 한 직선 위에 있다.